CALCULO DIFERENCIAL

El cálculo diferencial, es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial.

En el estudio del cambio de una función cuando cambian sus variables independientes es de especial interés para el cálculo diferencial el caso en el que el cambio de las variables es infinitesimal, esto es, cuando dicho cambio tiende a cero (se hace tan pequeño como se desee). Y es que el cálculo diferencial se apoya constantemente en el concepto básico del límite. El paso al límite es la principal herramienta que permite desarrollar la teoría del cálculo diferencial y la que lo diferencia claramente del álgebra.

Desde el punto de vista matemático de las funciones y la geometría, la derivada de una función en un cierto punto es una medida de la tasa en la cual una función cambia conforme un argumento se modifica. Esto es, una derivada involucra, en términos matemáticos, una tasa de cambio. Una derivada es el cálculo de las pendientes instantáneas de f(x) en cada punto x. Esto se corresponde a las pendientes de las tangentes de la gráfica de dicha función en sus puntos (una tangente por punto); Las derivadas pueden ser utilizadas para conocer la concavidad de una función, sus intervalos de crecimiento, sus máximos y mínimos.

La inversa de una derivada se llama primitiva, antiderivada o integral indefinida.

Diferenciación y diferenciabilidad [editar]

La Diferenciación puede ser usada para determinar el cambio que se produce como resultado de otro cambio, si está determinada una relación matemática entre dos objetos.

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si lo es en cada punto x perteneciente al intervalo. Si una función no es continua en c, entonces no puede ser diferenciable en c; sin embargo, aunque una función sea continua en c, puede no ser diferenciable. Es decir, toda función diferenciable en un punto C es continua en C, pero no toda función continua en C es diferenciable en C (como f(x) = |x| es continua pero no diferenciable en x = 0).
Derivadas de orden superior [editar]

La derivada de una función diferenciable puede a su vez ser diferenciable, hablándose entonces de segunda derivada de la función diferenciable como la derivada de la derivada de ésta. Análogamente, la derivada de la segunda derivada recibe el nombre de tercera derivada, y así sucesivamente.

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f(x) en el punto a, se escribe:

f^{\prime}(a) para la primera derivada,
f^{\prime\prime}(a) para la segunda derivada,
f^{\prime\prime\prime}(a) para la tercera derivada,
f^{(n)}(a)\, para la enésima derivada (n > 3).

Para la función derivada de f(x), se escribe f^\prime(x). De modo parecido, para la segunda derivada de f(x) se escribe f^{\prime\prime}(x), y así sucesivamente. Dado que si X= y , Z sera igual a la derivada de X+2.

Ejemplo 1 [editar]

Consideremos la siguiente función:
f(x) \,\! = 5 \,\!

Entonces:
f'(x) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(5)-(5)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{5-5}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{0}{h} = 0

Esta función es constante, para cualquier punto de su dominio vale 5 (por eso f(x+h)=5). Nótese el último paso, donde h tiende a cero pero nunca lo alcanza. Si pensamos un poco, observaremos que la derivada además de ser la pendiente de la recta tangente a la curva, es a la vez, la recta secante a la misma curva.
Ejemplo 2 [editar]

Consideremos la gráfiica de f(x)=2x-3\,\!. Esta recta tiene una pendiente igual a 2.0 en cada punto. Utilizando el cociente mostrado arriba (junto a los conceptos de límite, secante, y tangente) podremos determinar las pendiientes en los puntos 4 y 5:
f(x) \,\! = 2x-3 \,\!

Entonces:
f'(4) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4+h)-f(4)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{8+2h-3-8+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2
f'(5) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(5+h)-3-(2\cdot 5-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{10+2h-3-10+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2

Y vemos que se cumple para cualquier número n:
f'(n) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(n+h)-f(n)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2(n+h)-3-(2\cdot n-3)}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2n+2h-3-2n+3}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2h}{h} = 2

Por tanto, se deduce que el valor de la función derivada de una recta es igual a la pendiente de la misma.
Ejemplo 3 [editar]

Mediante esta diferenciación, se puede calcular la pendiente de una curva. Consideremos que: f(x)=x^2 \,\!

Entonces:
f'(x) \,\! = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^2 - x^2}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{2xh + h^2}{h}
= \lim_{h\rightarrow 0}(2x + h) = 2x

Para cualquier punto x, la pendiente de la función f(x)=x^2 \,\! es f'(x) =2x \,\!.
El cociente diferencial alternativo [editar]

Arriba, la derivada de f(x) (tal como la definió Newton) se describió como el límite, conforme h se aproxima a cero. Una explicación alternativa de la derivada puede ser interpretada a partir del cociente de Newton. Si se utiliza la fórmula anterior, la derivada en c es igual al límite conforme h se aproxima a cero de [f(c + h) - f(c)] / h. Si se deja que h = x - c (por ende c + h = x), entonces x se aproxima a c (conforme h tiende a cero). Así, la derivada es igual al límite conforme x se aproxima a c, de [f(x) - f(c)] / (x - c). Esta definición se utiliza para una demostración parcial de la regla de la cadena..
Notaciones para la diferenciación [editar]

La notación más simple para la diferenciación que se utiliza en la actualidad se debe a Lagrange y utiliza un apóstrofo o comilla: ′. De esta manera se expresan las derivadas de la función f(x) en el punto x = a, se escribe:

f'(a) \,\! para la primera derivada,
f''(a) \,\! para la segunda derivada,
f'''(a) \,\! para la tercera derivada, y luego de forma general,
f^{n}(a) \,\! para la n-ésima derivada (donde normalmente se da que n > 3).

Para la función cuyo valor en cada x es la derivada de f(x) \,\!, se escribe f'(x) \,\!. De forma similar, para la segunda derivada de f se escribe f''(x) \,\!, y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación se debe a Leibniz. Para la función cuyo valor en x es la derivada de f en x, se escribe:

\frac{d(f(x))}{dx}

Se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos formas distintas:

\frac{df}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \frac{df}{dx}(a).

Si la resultante de f(x) es otra variable, por ejemplo, si y=f(x), se puede escribir la derivada como:

\frac{dy}{dx}

Las derivadas de orden superior se expresan así

\frac{d^n(f(x))}{dx^n} o \frac{d^ny}{dx^n}

para la n-ésima derivada de f(x) o y respectivamente. Históricamente, esto proviene del hecho de que, por ejemplo, la tercera derivada es:

\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f(x)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}

que se puede escribir sin mucho rigor como:

\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \left(f(x)\right).

Eliminando las llaves nos da la notación que está arriba.

La notación de Leibniz es tan versátil que permite especificar la variable que se utilizará para la diferenciación (en el denominador). Esto es específicamente relevante para la diferenciación parcial. Y también hace más fácil de recordar la regla de la cadena, debido a que los términos "d" se cancelan simbólicamente:

\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.

Sin embargo, es importante recordar que los términos "d" no se pueden cancelar literalmente, debido a que son un operador diferencial. Sólo se utilizan cuando se usan en conjunto para expresar una derivada.

La notación de Newton para la diferenciación consiste en poner un punto sobre el nombre de la función:

\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)

\ddot{x} = x''(t)

y así sucesivamente.

La notación de Newton se utiliza principalmente en la mecánica, normalmente para las derivadas con respecto al tiempo tales como la velocidad y la aceleración y en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Normalmente sólo se utilizan para la primera y segunda derivadas.

Otra notación consiste en colocar una letra 'D' mayúscula para indicar la operación de diferenciación con un subíndice que indica la variable sobre la que se derivará:

Dxf,

que es equivalente a la expresión:

\frac{d}{dx}f

En ese contexto se considera a la diferenciación como una operación sobre funciones, de modo que los símbolos \frac{d}{dx} y Dx son llamados operadores diferenciales.
Aplicaciones importantes del cálculo diferencial [editar]
Recta tangente a una función en un punto [editar]

La recta tangente a una función f(x) es como se ha visto el límite de las rectas secantes cuando uno de los puntos de corte de la secante con la función se hace tender hacia el otro punto de corte. También puede definirse a la recta tangente como la mejor aproximación lineal a la función en su punto de tangencia, esto es, la recta tangente es la función polinómica de primer grado que mejor aproxima a la función localmente en el punto de tangencia que consideremos.

Si conocemos la ecuación de la recta tangente ta(x) a la función f(x) en el punto "a" podemos tomar ta(x) como una aproximación razonablemente buena de f(x) en las proximidades del punto "a". Esto quiere decir que si tomamos un punto "a + h" y lo evaluamos tanto en la función como en la recta tangente, la diferencia f(a + h) − t(a + h) será despreciable frente a "h" en valor absoluto si "h" tiende a cero. Cuanto más cerca estemos del punto "a" tanto más precisa será nuestra aproximación de f(x).

Para una función f(x) derivable localmente en el punto "a", la recta tangente a f(x) por el punto "a" es:

ta(x)= f(a) + f '(a)(x-a)